Question

9．已知函数f（x）=4^x-2^x，实数s，t满足f（s）+f（t）=0，a=2^s+2^t，b=2^s+t．
（1）当函数f（x）的定义域为[-1，1]时，求f（x）的值域；
（2）求函数关系式b=g（a），并求函数g（a）的定义域D；
（3）在（2）的结论中，对任意x₁∈D，都存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₁）=f（x₂）+m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）换元根据t=2^x∈[$\frac{1}{2}$，2]，g（t）=t²-t单调递增，即可求f（x）的值域；
（2）配方得出：（2^s+2^t）²-2•2^s+t-（2^s+2^t）=0，a²-2b-a=0，a≥2$\sqrt{b}$，a≥2$\sqrt{\frac{{a}^{2}-a}{2}}$，a＞0，求解即可得出b=$\frac{{a}^{2}-a}{2}$，1＜a≤2；
（3）g（x）=$\frac{1}{2}$（x²-x）∈（0，1]，f（x）∈[-$\frac{1}{4}$，2]，对任意x₁∈D，都存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₁）=f（x₂）+m成立，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=4^x-2^x，f（x）的定义域为[-1，1]时，
∴t=2^x∈[$\frac{1}{2}$，2]，g（t）=t²-t单调递增，
∵g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，g（2）=2，
∴f（x）的值域为：[-$\frac{1}{4}$，2]．
（2）∵f（s）+f（t）=0，
∴4^s-2^s+4^t-2^t=0，
化简得出：（2^s+2^t）²-2•2^s+t-（2^s+2^t）=0，
∵a=2^s+2^t，b=2^s+t．2^s+2^t≥2$\sqrt{{2}^{s+t}}$．a≥2$\sqrt{b}$
∴a²-2b-a=0，a≥2$\sqrt{b}$，a≥2$\sqrt{\frac{{a}^{2}-a}{2}}$，a＞0
即b=$\frac{{a}^{2}-a}{2}$，1＜a≤2，D=（1，2]；
（3）g（x）=$\frac{1}{2}$（x²-x）∈（0，1]，f（x）∈[-$\frac{1}{4}$，2]．
∵对任意x₁∈D，都存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₁）=f（x₂）+m成立，
∴（0，1]⊆[-$\frac{1}{4}$+m，2+m]．
∴-1≤m≤$\frac{1}{4}$．

点评 本题综合考查了函数的性质，配方求解，考查换元法，考查学生分析解决问题的能力，属于综合题．