Question

14．如图，将正三角形ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n个边长为1的小正三角形．若m：n=47：25，则三角形ABC的边长是（　　）

• A． 10
• B． 11
• C． 12
• D． 13

Answer 1

分析 设正△ABC的边长为x，根据等边三角形的高为边长的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍，求出正△ABC的面积，再根据菱形的性质结合图形表示出菱形的两对角线，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半表示出菱形的面积，然后根据所分成的小正三角形的个数的比等于面积的比列式计算即可得解．

解答 解：设正△ABC的边长为x，则高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²，
∵所分成的都是正三角形，
∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\sqrt{3}$，较短的对角线为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\sqrt{3}$）×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{x}{2}$-1；
∴黑色菱形的面积S′=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\sqrt{3}$）（$\frac{x}{2}$-1）=$\frac{\sqrt{3}}{8}$（x-2）²，
若m：n=47：25，则$\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{8}（x-2）^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{8}（x-2）^{2}}$=$\frac{47}{25}$，
解可得x=12或x=$\frac{12}{11}$（舍），
所以，△ABC的边长是12；
故选：C．

点评 本题考查菱形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握有一个角等于60°的菱形的两条对角线的关系是解题的关键，本题难点在于根据三角形的面积与菱形的面积列出方程．