Question

已知函数f(x)=(

1

3

)x，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，正项数列{b_n}的首项为c，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明数列{

Sn

}是等差数列，并求S_n；
（3）若数列{

1

bnbn+1

}前n项和为T_n，问Tn＞

1000

2009

的最小正整数n是多少？
（4）设cn=

2bn

an

，求数列{c_n}的前n项和P_n．

Answer 1

分析：（1）因为a1=f(1)-c=

1

3

-c，a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-

2

9

，a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-

2

27

．数列{a_n}成等比数列，能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

，n≥2，知

Sn

-

Sn-1

=1，（n≥2），由此能够证明数列{

Sn

}是等差数列，并求出S_n．
（3）由（2）得Sn=n2，当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，故

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂项求和法能求出满足Tn＞

1000

2009

的最小正整数．
（4）由cn=

2bn

an

=(1-2n)•3n，知Pn=(-1)×3+(-3)×32+(-5)×33+…+(1-2n)×3n，由此利用错位相减法能够求出数列{c_n}的前n项和P_n．

解答：解：（1）因为a1=f(1)-c=

1

3

-c，
a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-

2

9

，
a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-

2

27

．
又数列{a_n}成等比数列，
所以a1=

a22

a3

=

4 81

- 2 27

=-

2

3

=

1

3

-c，
解得c=1．…（2分）
又公比q=

a2

a1

=

1

3

，
所以an=-

2

3

•(

1

3

)n-1=-2•（

1

3

）^n-1，n∈N^*．…（3分）
（2）∵Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

，n≥2，
即(

Sn

-

Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

，n≥2
∴

Sn

-

Sn-1

=1，（n≥2）…（5分）
又

S1

=

b1

=

c

=1
∴数列{

Sn

}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
∴

Sn

=1+（n-1）×1=n，∴Sn=n2．…（6分）
（3）由（2）得Sn=n2，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，（*）
又b₁=S₁=1，适合（*）式
∴b_n=2n-1，（n∈N^*） …（8分）
∵

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

5

-

1

7

)+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

（1-

1

2n-1

）=

n

2n+1

，…（10分）
由T_n=

n

2n+1

＞

1000

2009

，得n＞

1000

9

，
故满足Tn＞

1000

2009

的最小正整数为112．…（11分）
（4）cn=

2bn

an

=(1-2n)•3n．…（12分）
∴Pn=(-1)×3+(-3)×32+(-5)×33+…+(1-2n)×3n①3Pn=(-1)×32+(-3)×33+(-5)×34+…+(3-2n)×3n+(1-2n)×3n+1②
②-①得2Pn=3+2×32+2×33+…+2×3n+(1-2n)×3n+1

=3+2× 32(1-3n-1) 1-3 +(1-2n)×3n+1 =(2-2n)•3n+1-6.

∴Pn=(1-n)•3n+1-3．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法、错位相减法的合理运用．