Question

如图所示，PA⊥平面ABCD，ABCD是边长为1的正方形．点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）当点E为BC的中点时，试在AB上找一点G，使得平面PAC∥平面EFG．求此时AG的长度；
（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．

Answer 1

分析：（1）当G为AB中点时，平面PAC∥平面EFG，连接GF，GE，证明GE∥平面PAC，EF∥平面PAC即可；
（2）无论点E在边BC的何处，证明AF⊥平面PBC，从而都有PE⊥AF．

解答：（1）解：当G为AB中点时，平面PAC∥平面EFG，连接GF，GE，
∵G为AB中点，E为BC的中点，
∴GE∥AC，
∵GE?平面PAC，AC?平面PAC，
∴GE∥平面PAC，
同理EF∥平面PAC，
∵GE∩EF=E，
∴平面PAC∥平面EFG，此时，AG=

1

2

；
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥BC，
∵PA=AB=1，F为PB的中点，
∴AF⊥PB，
∵BC⊥AB，AB∩PA=A，
∴BC⊥平面PAB，
∵AF?平面PAB，
∴BC⊥AF，
∵BC∩PB=B，AF⊥PB，BC⊥AF，
∴AF⊥平面PBC，
∵PE?平面PBC，
∴AF⊥PE．

点评：本题考查线面平行，面面平行的判定，考查线面垂直，线线垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．