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如图所示,PA⊥平面ABC,点C在以AB为直径的⊙O上,∠CBA=30°,PA=AB=2,,点E为线段PB的中点,点M在AB弧上,且OM∥AC.
(1)求证:平面MOE∥平面PAC;
(2)求证:BC⊥平面PAC;
(3)求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值.
分析:(1)先证明OE∥平面PAC、OM∥平面PAC,再利用面面平行的判定,可得平面MOE∥平面PAC;
(2)利用线线垂直证明线面垂直;
(3)由(2)知BC⊥面PAC,可得∠BPC为直线PB与平面PAC所成的角,求出BC、PB的值可得结论.
解答:(1)证明:因为点E为线段PB的中点,点O为线段AB的中点,所以OE∥PA      …(1分)
因为PA?平面PAC,OE?平面PAC,所以OE∥平面PAC.…(2分)
因为OM∥AC,因为AC?平面PAC,OM?平面PAC,所以OM∥平面PAC.…(3分)
因为OE∩OM=O,所以平面MOE∥平面PAC …(5分)
(2)证明:因为点C在以AB为直径的⊙O上,所以∠ACB=90°,即BC⊥AC,
因为PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC.…(7分)
因为PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC;…(9分)
(3)解:由(2)知BC⊥面PAC,∴∠BPC为直线PB与平面PAC所成的角.…(10分)
在Rt△PAC中,PC=
PA2+AC2
=
5

在Rt△ABC中,BC=
AB2-AC2
=
3

在Rt△PBC中,P=
PC2+BC2
=2
2
…(12分)
sin∠BPC=
BC
PB
=
3
2
2
=
6
4

∴直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为
6
4
…(14分)
点评:本题考查面面平行,考查线面垂直,考查线面角,解题的关键是掌握面面平行、线面垂直的判定方法,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

如图所示,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,PA=AB=2,N为PC的中点.
(1)求证:BD⊥平面PAC.     
(2)求二面角B-AN-C的正切值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图所示,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AD⊥AB,PA=
6
AD=2,BC=
3
2
,∠ADC=60°,O为四棱锥P-ABCD内一点,AO=1,
若DO与平面PCD成角最小角为α,则α=(  )

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