Question

15．已知复数z满足（3+4i）z=5i²⁰¹⁶（i为虚数单位），则|z|=1．

Answer 1

分析 由（3+4i）z=5i²⁰¹⁶，得$z=\frac{5{i}^{2016}}{3+4i}$，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．

解答 解：由（3+4i）z=5i²⁰¹⁶，
得$z=\frac{5{i}^{2016}}{3+4i}$=$\frac{5（{i}^{4}）^{504}}{3+4i}=\frac{5}{3+4i}=\frac{5（3-4i）}{（3+4i）（3-4i）}$=$\frac{3-4i}{5}=\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$，
则|z|=$\sqrt{（\frac{3}{5}）^{2}+（-\frac{4}{5}）^{2}}=1$．
故答案为：1．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．