Question

10．在平面直角坐标系xOy中，已知$x_1^2-ln{x_1}-{y_1}=0$，x₂-y₂-2=0，则${（{x_2}-{x_1}）^2}+{（{y_2}-{y_1}）^2}$的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 化简已知条件，得到两个函数，利用函数的导数求出切线的斜率，利用平行线之间的距离求解即可．

解答 解：∵$x_1^2-ln{x_1}-{y_1}=0$，x₂-y₂-2=0，
∴y₁=x₁²-lnx₁，并且x₂-y₂-2=0，
（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值转化为：
函数y=x²-lnx图象上的点与x-y-2=0图象上的点的距离的最小值，
由y=x²-lnx，得y′=2x-$\frac{1}{x}$．与直线x-y-2=0平行的直线的斜率为1，
所以2x-$\frac{1}{x}$=1，解得x=1，或x=-$\frac{1}{2}$，（舍）
切点坐标（1，1），与x-y-2=0平行的直线为：y-1=x-1，即x-y=0，
x-y-2=0与x-y=0之间的距离的平方即为${（{x_2}-{x_1}）^2}+{（{y_2}-{y_1}）^2}$的最小值，
∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值为：（$\frac{|2|}{\sqrt{1+1}}$）²=2．
故选：B．

点评 本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数求解函数的最值，考查计算能力以及转化思想．