Question

5．已知关于x的不等式lnx-ax+1＞0有且只有一个整数解，则实数a的取值范围是$[\frac{1+ln2}{2}，1）$．

Answer 1

分析 设f（x）=lnx-ax+1，则关于x的不等式lnx-ax+1＞0有且只有一个整数解，可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）＞0}\\{f（2）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-a+1＞0}\\{ln2-2a+1≤0}\end{array}\right.$，由此即可求出实数a的取值范围．

解答 解：设f（x）=lnx-ax+1，
∵关于x的不等式lnx-ax+1＞0有且只有一个整数解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）＞0}\\{f（2）≤0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-a+1＞0}\\{ln2-2a+1≤0}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1+ln2}{2}$≤a＜1，
∴实数a的取值范围是$[\frac{1+ln2}{2}，1）$，
故答案为$[\frac{1+ln2}{2}，1）$．

点评 本题考查不等式的解法，考查函数思想的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．