Question

1．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x）且函数y=（1-x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）

• A． 函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f（2）
• B． 函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f（1）
• C． 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（-2）
• D． 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）

Answer 1

分析 结合函数图形，对x分区间讨论f（x）与0大小关系，从而推导出f（x）在区间上的单调性即可；

解答 解：由图形推导可知：
当x＜-2时，y＞0，1-x＞0⇒f'（x）＞0，故f（x）在（-∞，-2）上单调递增；
当-2＜x＜1时：y＜0，1-x＞0⇒f'（x）＜0，故f（x）在（-2，1）上单调递减；
当1＜x＜2时：y＞0，1-x＜0⇒f'（x）＜0，故f（x）在（1，2）上单调递减；
当x＞2时：y＜0，1-x＜0⇒f'（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上单调递增；
故函数f（x）在x=-2时取得极大值，在x=2时取得极小值；
故选：A．

点评 本题主要考查了导函数与原函数图形的关系，以及数学结合与分析推理等知识点，属中等题．