Question

9．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE．
（1）证明：DE⊥平面PBC．
（2）试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（3）记阳马P-ABCD的体积为V₁，四面体EBCD的体积为V₂，求$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）推导出PD⊥BC，BC⊥CD，从而BC⊥平面PCD，进而BC⊥DE，再由DE⊥PC，能证明DE⊥平面PBC．
（2）由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，能得到四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB．
（3）由PD是阳马P-ABCD的高，得到${V}_{1}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}•PD$=$\frac{1}{3}×BC×CD×PD$；由DE是鳖臑D-BCE的高，得到${V}_{2}=\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•DE=\frac{1}{6}×BC×CE×DE$．由此能求出$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$的值．

解答 证明：（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC．…（1分）
由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，
所以BC⊥平面PCD．…（3分）
DE?平面PCD，所以BC⊥DE．…（4分）
又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC． …（5分）
而PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC．…（6分）
解：（2）由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，
可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，…（7分） 
其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB．…（8分）
（3）由已知，PD是阳马P-ABCD的高，
所以${V}_{1}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}•PD$=$\frac{1}{3}×BC×CD×PD$；…（8分）
由（1）知，DE是鳖臑D-BCE的高，BC⊥CE，…（9分）
所以${V}_{2}=\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•DE=\frac{1}{6}×BC×CE×DE$．
在Rt△PDC中，因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE=CE+$\frac{\sqrt{2}}{2}CD$，…（10分）
于是 $\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}=\frac{\frac{1}{3}BC•CD•PD}{\frac{1}{6}BC•CE•DE}$=$\frac{2CD•PD}{CE•DE}$=4．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查四面体EBCD是否为鳖臑的判断，考查两个几何体的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．