Question

（2011•湖北模拟）对一切x∈R，f（x）=ax ²+bx+c（a＜b）的值恒为非负实数，则

a+b+c

b-a

的最小值为

3

．

Answer 1

分析：设M=

a+b+c

b-a

，其中c是二次函数的常数项，对图象起上下移动的作用，要使M最小，在a，b不动的情况下，c应该尽量小．尽量将图象向下移，但抛物线的最低点不能低过X轴，所以，M取最小值的时候，正好抛物线与X轴相切，即b²-4ac=0．

解答：解：设M=

a+b+c

b-a

，M取最小值的时候，正好抛物线与X轴相切，
即b²-4ac=0．把c=

b2

4a

代入得：
M=

a+b+ b2 4a

b-a

=

1+ b a + 1 4 ( b a )2

b a -1

令

b

a

=x，
∵b＞a＞0，
∴x＞1．
M=

1+x+ x2 4

x-1

，
x²+4（1-M）x+4（1+M）=0有大于1的根，
设g（x）=x²+4（1-M）x+4（1+M），
g（1）=1+4（1-M）+4（1+M）=9＞0，
则2（M-1）＞1，
∴M≥3．
所以

a+b+c

b-a

的最小值为3．
故答案为：3．

点评：本题考查二次函数的性质，解题时要认真审题，灵活运用抛物线的性质，合理地进行等价转化．