Question

20．已知二次函数f（x）满足：f（0）=3；f（x+1）=f（x）+2x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）在[t，t+1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意，f（x）是二次函数，设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=3；f（x+1）=f（x）+2x．利用待定系数法求解出a，b，c的值即得函数的解析式．
（2）利用二次函数的性质，讨论在[t，t+1]上的最小值．

解答 解：由题意，f（x）是二次函数，设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=3；可得：c=3，
∵f（x+1）=f（x）+2x．
∴a（x+1）²+b（x+1）+3=ax²+bx+3+2x．
化简得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b=0}\\{2a+b=b+2}\end{array}\right.$，
解得：a=1，b=-1．
∴函数f（x）的解析式为f（x）=x²-x+3．
（2）由（1）可得f（x）=x²-x+3．
对称轴x=$\frac{1}{2}$．
当t+1$≤\frac{1}{2}$时，即t$≤-\frac{1}{2}$，函数f（x）在[t，t+1]上是单调递减，
故得f（t+1）_min=t²+t+3．
当t＜$\frac{1}{2}$＜t+1时，即-$\frac{1}{2}$＜t＜$\frac{1}{2}$，函数f（x）在x=$\frac{1}{2}$取得最小值．
故得f（$\frac{1}{2}$）_min=$\frac{11}{4}$．
当t$≥\frac{1}{2}$时，函数f（x）在[t，t+1]上是单调递增，
故得f（t）_min=t²-t+3．
综上所得：当t$≤-\frac{1}{2}$，函数f（x）在[t，t+1]上的最小值为t²+t+3；
当-$\frac{1}{2}$＜t＜$\frac{1}{2}$，函数f（x）在[t，t+1]上的最小值为$\frac{11}{4}$；
当t$≥\frac{1}{2}$时，函数f（x）在[t，t+1]上是的最小值为t²-t+3．

点评 本题考查了二次函数解析式的求法，利用待定系数法．同时考查了二次函数最小值的讨论，要抓住对称轴．属于中档题．