Question

当x∈（0，1）时，不等式x²＜log_a（x+1）恒成立，则实数a的范围为

 

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Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：根据不等式恒成立得到，根据x的范围，x²取最大即x为1时，得到的不等式成立，讨论a大于1和小于1两种情况，根据对数函数的增减性得到a的取值范围．

解答： 解：∵不等式x²＜log_a（x+1）在（0，1）上恒成立，
∴log_a²≥1²=1，
当a＞1时，对数函数为增函数，
根据log_a²≥log_a^a，得到1＜a≤2；
当a＜1时，对数函数为减函数，
根据log_a²≥log_a^a，得到a≥2，而a＜1，所以无解．
所以不等式恒成立时，a的取值范围是（1，2]．
故答案为：（1，2]．

点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想，是中档题．