Question

【题目】已知函数f（x）=（3﹣a）x﹣2+a﹣2lnx（a∈R）
（1）若函数y=f（x）在区间（1，3）上单调，求a的取值范围；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣x在（0， ）上无零点，求a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3﹣a﹣ = ，

当a≥3时，有f′（x）＜0，即函数f（x）在区间（1，3）上单调递减；

当a＜3时，令f′（x）=0，得x= ，若函数y=f（x）在区间（1，3）单调，

则 ≤1或 ≥3，解得：a≤1或 ≤a＜3，

综上，a的范围是（﹣∞，1]∪[ ，+∞）

（2）解：x→0时，g（x）→+∞，

∴g（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx＜0在区间（0， ）上恒成立不可能，

故要使函数g（x）在（0， ）无零点，只需对任意的x∈（0， ），g（x）＞0恒成立，

即对x∈（0， ），a＞2﹣ 恒成立，

令l（x）=2﹣ ，x∈（0， ），

则l′（x）= ，

令m（x）=2lnx+ ﹣2，x∈（0， ），

则m′（x）= ＜0，

故m（x）在（0， ）上递减，于是m（x）＞m（ ）=2﹣2ln2＞0，

从而，l′（x）＞0，于是l（x）在（0， ）递增，

∴l（x）＜l（ ）=2﹣4ln2，

故要使a＞2﹣ 恒成立，只需a∈[2﹣4ln2，+∞），

综上，若函数g（x）=f（x）﹣x在（0， ）上无零点，则a的最小值是2﹣4ln2

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，从而求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为对x∈（0， ），a＞2﹣ 恒成立，令l（x）=2﹣ ，x∈（0， ），根据函数的单调性求出a的范围即可．