Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M： =1（a＞b＞0）上，若点A（﹣a，0），B（0， ），且 = ．
（1）求椭圆M的离心率；
（2）设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点．线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合．
①若点P（﹣3，0），直线l过点（0，﹣ ），求直线l的方程；
②若直线l过点（0，﹣1），且与x轴的交点为D．求D点横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设C（m，n），由 = ，

可得（a， a）= （m，n﹣ ），

可得m= a，n= a，即C（ a， a），

即有 + =1，即为b2= a2，

c2=a2﹣b2= a2，

则e= =

（2）解：①由题意可得c=2，a=3，b= = ，

即有椭圆方程为 =1，

设直线PQ的方程为y=k（x+3），

代入椭圆方程可得（5+9k2）x2+54k2x+81k2﹣45=0，

x1+x2=﹣ ，PQ的中点H为（﹣ ， ），

由题意可得直线l的斜率为 =﹣ ，

解得k=1或 ，

即有直线l的方程为y=﹣x﹣ 或y=﹣ x﹣ ；

②设直线PQ的方程为y=kx+m，

代入椭圆方程可得，（5+9k2）x2+18kmx+9m2﹣45=0，

可得x1+x2=﹣ ，

即有PQ的中点为（﹣ ， ），

由题意可得直线l的斜率为 =﹣ ，

化简可得4m=5+9k2，中点坐标即为（﹣ ， ），

由中点在椭圆内，可得 + ＜1，

解得﹣ ＜k＜ ，

由直线l的方程为y=﹣ x﹣1，

可得D的横坐标为﹣k，可得范围是（﹣ ，0）∪（0， ）．

【解析】（1）设C（m，n），由向量共线的坐标表示，可得C的坐标，代入椭圆方程，可得a，b的关系，再由离心率公式计算即可得到所求值；（2）①由题意可得c=2，a=3，b= = ，可得椭圆方程，设直线PQ的方程为y=k（x+3），代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得k，进而得到所求直线方程；②设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程可得，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件，求得4m=5+9k2 ， 再由中点在椭圆内，可得k的范围，再由直线l的方程可得D的横坐标的范围．