Question

【题目】已知函数f（x）=．

（1）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围；

（2）若函数f（x）在（﹣∞，1）上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）或； （2）[1，2].

【解析】

（1）根据题意，设t=x2﹣2ax+3，则y=logt，若函数f（x）的值域为R，结合对数函数的性质分析可得：对于t=x2﹣2ax+3，必有△=（﹣2a）2﹣12≥0，解可得a的取值范围，即可得答案；

（2）由复合函数以及对数函数、二次函数的性质分析可得，解可得a的取值范围，即可得答案．

（1）根据题意，函数f（x）=log（x2﹣2ax+3），

设t=x2﹣2ax+3，则y=，

若函数f（x）的值域为R，对于t=x2﹣2ax+3，必有△=（﹣2a）2﹣12≥0，

解可得：a≥或a≤﹣，

（2）设t=x2﹣2ax+3，则y=，

函数y=为减函数，

若函数f（x）在（﹣∞，1）上为增函数，

则函数t=x2﹣2ax+3在（﹣∞，1）上为减函数，且t=x2﹣2ax+3＞0在（﹣∞，1）上恒成立，

即 ，解可得1≤a≤2，

即a的取值范围为[1，2]．