Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=它（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为

2

2

．
（它）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的引斜率为k的直线与椭圆C相交于两点G、H，设m为椭圆C上一点，且满足

OG

+

OH

=t

Om

（O为坐标原点），当|

mG

-

mH

|＜

2 5

3

时，求实数t的取值范围？

Answer 1

（3）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=3（a＞b＞r）的短轴长为2，离心率为

2

2

，
∴b=3，

c

a

=

2

2

，
∵a²=b²+c²，
∴a=

2

，b=3，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=3…（3分）
（2）设G（x₃，y₃），H（x₂，y₂），
设直线y=k（x-2），联立椭圆，可得（3+2k²）x²-8kx+8k²-2=r
△=（-8k）²-q（3+2k²）（8k²-2）＞r，得k2＜

3

2

，…（5分）
条件|

PG

-

PH

|＜

2 5

3

转换一下就是|

GH

|＜

2 5

3

，
∵x₃+x₂=

8k

3+2k2

，x₃x₂=

8k2-2

3+2k2

根据弦长公式，

3+k2

•

( 8k 3+2k2 )2-q• 8k2-2 3+2k2

＜

2 5

3

，得到k2＞

3

q

．…（3分）
设P（x，y），则
∵

OG

+

OH

=t

OP

，
∴（x₃+x₂，y₃+y₂）=t（x，y），
∴x=

3

t

（x₃+x₂），y=

3

t

（y₃+y₂）
根据x₃+x₂=

8k

3+2k2

，x₃x₂=

8k2-2

3+2k2

，把x₃，x₂消成k，得P(

8k2

t(3+2k2)

，

-qk

t(3+2k2)

)（9分）
然后代入椭圆，得到关系式t2=

3qk2

3+2k2

，…（33分）
∴t2=

3q

3 k2 +2

，
∵

3

q

＜k2＜

3

2

，
∴实数t的取值范围为(-2，-

2 q

3

)∪(

2 q

3

，2)…（33分）