【题目】定义符号函数,已知
,
.
(1)求关于
的表达式,并求
的最小值.
(2)当时,函数
在
上有唯一零点,求
的取值范围.
(3)已知存在,使得
对任意的
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1);最小值为
(2)
(3)
【解析】
(1)根据已知求出,分析其单调性可得函数的最小值;
(2)当时,
,由
得:
,即
,令
,
,在同一坐标系中分别作出两个函数在
上的图象,数形结合可得答案;
(3)若存在,使得
对任意的
恒成立,则
对任意的
恒成立,分类讨论可得答案.
(1)函数
,
.
,
,
,
由在
上为减函数,在
上为增函数,
故当时,
的最小值为
;
(2)当时,函数
,
当时,
,
由得:
,即
,
令,
,
在同一坐标系中分别作出两个函数在上的图象,如下图所示:
,
当射线过点
时,
,
当射线与
相切时,
,
当射线过点
时,
,
由图可得:当时,两个函数图象有且只有一个交点,
即函数在
上有唯一零点;
(3)时,
,
由得:
,
,且
对任意的
恒成立,
即对任意的
恒成立,
在
上单调递增,故当
时,
取最大值
,
,
的最小值为:
,
①,解得:
;
②,解得:
;
③解得:
,
综上可得:.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】两城市和
相距
,现计划在两城市外以
为直径的半圆
上选择一点
建造垃圾处理场,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城
和城
的总影响度为城
和城
的影响度之和,记
点到城
的距离为
,建在
处的垃圾处理场对城
和城
的总影响度为
,统计调查表明:垃圾处理场对城
的影响度与所选地点到城
的距离的平方成反比,比例系数为4,对城
的影响度与所选地点到城
的距离的平方成反比,比例系数为
,当垃圾处理场建在
的中点时,对城
和城
的总影响度为0.065;
(1)将表示成
的函数;
(2)判断上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理场对城
和城
的总影响度最小?若存在,求出该点到城
的距离;若不存在,说明理由;
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在三棱锥中,BO、AO、CO所在直线两两垂直,且AO=CO,∠BAO=60°,E是AC的中点,三棱锥
的体积为
(1)求三棱锥的高;
(2)在线段AB上取一点D,当D在什么位置时,和
的夹角大小为
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设数列的前
项和为
,若
,则称
是“
数列”.
(1)若是“
数列”,且
,
,
,
,求
的取值范围;
(2)若是等差数列,首项为
,公差为
,且
,判断
是否为“
数列”;
(3)设数列是等比数列,公比为
,若数列
与
都是“
数列”,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,过
轴正方向上一点
任作一直线,与抛物线
相交于
两点,一条垂直于
轴的直线分别与线段
和直线
交于点
.
(1) 若,求
的值;
(2) 若,
为线段
的中点,求证: 直线
与该抛物线有且仅有一个公共点.
(3) 若,直线
的斜率存在,且与该抛物线有且仅有一个公共点,试问
是否一定为线段
的中点? 说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数(
,
为实数),
.
(1)若函数的最小值是
,求
的解析式;
(2)在(1)的条件下,在区间
上恒成立,试求
的取值范围;
(3)若,
为偶函数,实数
,
满足
,
,定义函数
,试判断
值的正负,并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知,
,
是椭圆
:
上的三点,其中
的坐标为
,
过椭圆
的中心,且椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)当直线的斜率为1时,求
面积;
(3)设直线:
与椭圆
交于两点
,
,且线段
的中垂线过椭圆
与
轴负半轴的交点
,求实数
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=lnx﹣ax,a∈R.
(1)若f(x)有两个零点,求a的取值范围;
(2)设函数g(x),证明:g(x)有极大值,且极大值小于
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数(
,
)的周期为
,图象的一个对称中心为
,将函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象.
(1)求函数与
的解析式;
(2)求证:存在,使得
,
,
能按照某种顺序成等差数列.
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