【题目】已知,
,
是椭圆
:
上的三点,其中
的坐标为
,
过椭圆
的中心,且椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)当直线的斜率为1时,求
面积;
(3)设直线:
与椭圆
交于两点
,
,且线段
的中垂线过椭圆
与
轴负半轴的交点
,求实数
的值.
【答案】(1);(2)6;(3)
.
【解析】
(1)由题意可得,再由正三角形的条件可得
,解得
,进而得到椭圆方程;
(2)由题意写出点坐标,直线
方程,联立直线方程与椭圆方程可求得交点
、
的纵坐标,
,代入数值即可求得面积;(3)联立直线
与椭圆方程消掉
得
的二次方程,设
,
,
,
,线段
的中点
,
,由韦达定理及中点坐标公式可用
表示出中点坐标,由垂直可得
,解出即得
值,注意检验△
.
(1)的坐标为
,
,即有
,
椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形,
可得,解得
,
则椭圆的方程为
;
(2)直线的方程为
,
代入椭圆方程,得
,
;
(3)由得
,△
,
依题意,,设
,
,
,
,线段
的中点
,
,
则,
,
,
,
,
由,得
,解得
.
所以实数的值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从本班24名女同学,18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.
(1)如果按照性别比例分层抽样,可以得到多少个不同的样本?(写出算式即可,不必计算出结果)
(2)如果随机抽取的7名同学的数学,物理成绩(单位:分)对应如下表:
学生序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
数学成绩 | 60 | 65 | 70 | 75 | 85 | 87 | 90 |
物理成绩 | 70 | 77 | 80 | 85 | 90 | 86 | 93 |
①若规定85分以上(包括85分)为优秀,从这7名同学中抽取3名同学,记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为,求
的分布列和数学期望;
②根据上表数据,求物理成绩关于数学成绩
的线性回归方程(系数精确到0.01);若班上某位同学的数学成绩为96分,预测该同学的物理成绩为多少分?
附:线性回归方程,
其中,
.
76 | 83 | 812 | 526 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】定义符号函数,已知
,
.
(1)求关于
的表达式,并求
的最小值.
(2)当时,函数
在
上有唯一零点,求
的取值范围.
(3)已知存在,使得
对任意的
恒成立,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆方程为.
(1)设椭圆的左右焦点分别为、
,点
在椭圆上运动,求
的值;
(2)设直线和圆
相切,和椭圆交于
、
两点,
为原点,线段
、
分别和圆
交于
、
两点,设
、
的面积分别为
、
,求
的取值范围.
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