【题目】已知函数,
为实数.
(1)讨论在
上的奇偶性;(只要写出结论,不需要证明)
(2)当时,求函数
的单调区间;
(3)当时,求函数
在
上的最大值.
【答案】(1)时,奇函数:
时,非奇非偶函数;
(2)时,
递增;
时,在
和
上递增,在
上递减;
(3)当,
;当
,
.
【解析】
(1)因为,可得
,对
进行讨论,结合奇偶函数的定义即可求得答案;
(2)分别讨论和
两种情况,即可求得
时,函数
的单调区间;
(3)结合(2)的结论,根据单调性,即可求得函数在
上的最大值.
(1)
当时,
,此时
是奇函数
当时,
是奇函数非奇非偶函数.
(2)
①当时,
,
此时,函数在区间
和
上均为增函数,又该函数在
上连续,
所以,函数的单调递增区间为
;
②当时,
,
当时,
,当
时,
,
函数
在
和
上递增,在
上递减.
综上所述,时,
递增;
时,在
和
上递增,在
上递减;
(3)由(2)可知当时,
为增函数,
当时,
此时对称轴为:,
当
,此时函数在
上递减,
,
若,解得
,此时
,
即当时,函数
在闭区间
上最大值为
,
若,解得
时,函数
在闭区间
上最大值为
.
综上所述,当,
;
当,
.
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【题目】已知函数.
(1)设是
的反函数.当
时,解不等式
;
(2)若关于的方程
的解集中恰好有一个元素,求实数
的值;
(3)设,若对任意
,函数
在区间
上的最大值与最小值的差不超过
,求
的取值范围.
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【题目】设数列的前
项和为
,若
,则称
是“
数列”.
(1)若是“
数列”,且
,
,
,
,求
的取值范围;
(2)若是等差数列,首项为
,公差为
,且
,判断
是否为“
数列”;
(3)设数列是等比数列,公比为
,若数列
与
都是“
数列”,求
的取值范围.
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【题目】已知函数(
,
为实数),
.
(1)若函数的最小值是
,求
的解析式;
(2)在(1)的条件下,在区间
上恒成立,试求
的取值范围;
(3)若,
为偶函数,实数
,
满足
,
,定义函数
,试判断
值的正负,并说明理由.
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【题目】已知,
,
是椭圆
:
上的三点,其中
的坐标为
,
过椭圆
的中心,且椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)当直线的斜率为1时,求
面积;
(3)设直线:
与椭圆
交于两点
,
,且线段
的中垂线过椭圆
与
轴负半轴的交点
,求实数
的值.
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【题目】当前,旅游已经成为新时期人民群众美好生活和精神文化需求的重要内容.旅游是综合性产业,是拉动经济发展的重要动力,也为整个经济结构调整注入活力.文化旅游产业研究院发布了《2019年中国文旅产业发展趋势报告》,报告指出:旅游业稳步增长,每年占国家GDP总量的比例逐年增加,如图及下表为2014年到2018年的相关统计数据.
旅游收入占国家GDP总量比例趋势 | |||||
年份: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
占比: | 10.4 | 10.8 | 11.0 | 11.0 | 11.2 |
(1)根据以上数据,求出占比关于年份
的线性回归方程
;
(2)根据(1)所求线性回归方程,预测2019年的旅游收入所占的比例.
附:.
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣ax,a∈R.
(1)若f(x)有两个零点,求a的取值范围;
(2)设函数g(x),证明:g(x)有极大值,且极大值小于
.
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【题目】对某居民最近连续几年的月用水量进行统计,得到该居民月用水量 (单位:吨)的频率分布直方图,如图一.
(1)求的值,并根据频率分布直方图估计该居民月平均用水量
;
(2)已知该居民月用水量与月平均气温
(单位:℃)的关系可用回归直线
模拟.2019年当地月平均气温
统计图如图二,把2019年该居民月用水量高于和低于
的月份作为两层,用分层抽样的方法选取5个月,再从这5个月中随机抽取2个月,求这2个月中该居民恰有1个月用水量超过
的概率.
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【题目】已知双曲线的左,右焦点分别为
,
,点P为双曲线C右支上异于顶点的一点,
的内切圆与x轴切于点
,则a的值为______,若直线
经过线段
的中点且垂直于线段
,则双曲线C的方程为________________.
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