【题目】如图，在四棱锥
中，侧面
是等边三角形，且平面
平面
、E为
的中点，
，
，
，
.
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）取
中点F，连结
，
，先证四边形
为平行四边形，进而可得
，进而可得
平面
；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面
和平面
的法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得二面角
的余弦值.
（1）如图，取中点F，连结，.
因为E为
中点，
，所以
，
.
又因为
，
，所以
，
，
所以四边形为平行四边形.
所以.
又因为
平面，
平面，
所以平面.
（2）取
中点O，连结
，
.
因为
为等边三角形，所以
.
又因为平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面.
因为
，
，
所以四边形
为平行四边形.
因为
，所以
.
如图建立空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
.
所以
，
，
设平面的一个法向量为
，
则
即
令
，则
，
显然，平面的一个法向量为
，
则
即
令
，则
，
所以
.
由题知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
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【题目】已知
，
，
是椭圆
：
上的三点，其中的坐标为
，
过椭圆的中心，且椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线的斜率为1时，求
面积；
（3）设直线
：
与椭圆交于两点
，
，且线段
的中垂线过椭圆与
轴负半轴的交点
，求实数
的值.
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【题目】已知函数
（
，
）的周期为
，图象的一个对称中心为
，将函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象.
（1）求函数
与的解析式；
（2）求证：存在
，使得
，
，
能按照某种顺序成等差数列.
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【题目】已知双曲线
的左，右焦点分别为
，
，点P为双曲线C右支上异于顶点的一点，
的内切圆与x轴切于点
，则a的值为______，若直线
经过线段
的中点且垂直于线段，则双曲线C的方程为________________.
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【题目】有一块铁皮零件，其形状是由边长为
的正方形截去一个三角形
所得的五边形
，其中
，如图所示.现在需要用这块材料截取矩形铁皮
，使得矩形相邻两边分别落在
上，另一顶点
落在边
或
边上.设
，矩形的面积为
.
（1）试求出矩形铁皮的面积
关于
的函数解析式，并写出定义域；
（2）试问如何截取（即取何值时），可使得到的矩形的面积最大？
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【题目】已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：
，使得
成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
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【题目】
给定椭圆
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆Ｃ的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到Ｆ的距离为
.
（I）求椭圆Ｃ的方程和其“准圆”方程；
(II )点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线
，使得与椭圆C都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点M，N.
（1）当P为“准圆”与
轴正半轴的交点时，求的方程；
（2）求证：|MN|为定值.
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