【题目】在三棱柱中,
平面
,
,点
、
分别在棱
、
上,且
,
,
,
.
(1)求证:平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)要证平面
,只需证
垂直于该面中的两条相交直线即可,通过三角形的相似,和线面垂直可证得
,
,从而可证得线面垂直;
(2) 要求出直线与平面
所成角的正弦值,关键在于需求出点
到平面
的距离,运用三棱锥的等积法
,可求得点
到平面
的距离,从而求得直线
与平面
所成角的正弦值.
(1)证明:如图, ∵平面
,
平面
,∴
,
又∵,∴
,且
,
平面
,
平面
,∴
平面
,
又∵点、
分别在棱
、
上,且
,
,,∴
,
∴平面
,又∵
平面
,∴
,
在矩形中,
,∴
,∴
,
且,
平面
,
平面
,∴
平面
,
所以平面
;
(2)设点到在平面
的距离为
,则有
,而由(1)得
平面
,∴
,而
,
,
由(1)可得平面
,∴点
到平面
的距离为
的长,
∴,而
,
设直线与平面
所成角为
,则
,
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(Ⅰ)用表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量
的分布列和数学期望;
(Ⅱ)设为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件
发生的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对于项数为m(且
)的有穷正整数数列
,记
,即
为
中的最小值,设由
组成的数列
称为
的“新型数列”.
(1)若数列为2019,2020,2019,2018,2017,请写出
的“新型数列”
的所有项;
(2)若数列满足
,且其对应的“新型数列”
项数
,求
的所有项的和;
(3)若数列的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积,求符合条件的
及其对应的“新型数列”
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列,
为其前
项的和,满足
.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前
项和为
,数列
的前
项和为
,求证:当
,
时
;
(3)已知当,且
时有
,其中
,求满足
的所有
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】节能环保日益受到人们的重视,水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题.某地有三家工厂,分别位于矩形的两个顶点
、
及
的中点
处,
,
,为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界),且与
、
等距离的一点
处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道
、
、
.设
∠BAO=x(弧度),排污管道的总长度为
.
(1)将表示为
的函数;
(2)试确定点的位置,使铺设的排污管道的总长度最短,并求总长度的最短公里数(精确到
).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,且经过点
,它的一个焦点与抛物线E:
的焦点重合,斜率为k的直线l交抛物线E于A、B两点,交椭圆
于C、D两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l经过点,设点
,且
的面积为
,求k的值;
(3)若直线l过点,设直线
,
的斜率分别为
,
,且
,
,
成等差数列,求直线l的方程.
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