【题目】如图,三棱锥中,
,
,
.
(1)求证:;
(2)若二面角的大小为
且
时,求
的中线
与面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析,(2)
【解析】
(1) 取中点
,连
,
,证明
平面
即可.
(2) 由(1)在平面内作
,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解线面角的正弦值或直接利用向量的关系求解即可.
(1)证明:取中点
,连
,
,∵
,
,
∴,
,
平面
,且
,
∴平面
,又
平面
,∴
.
(2)由(1)知是二面角
的平面角,
∴,又由
平面
知平面
平面
,
所以在平面内作
,则
面
,可建如图坐标系,
又易得,故在
中由余弦定理可得
,
于是可得各点坐标为,
,
,
,
∴,∴
,
又平面的一个法向量为
,
所以直线与面
所成角的正弦值
.
法二:由(1)知是二面角
的平面角,∴
.
作于
,则由
平面
知
平面
,且
,
又易得,故在
中由余弦定理可得
,∴
.
又为
中点,所以
到平面
的距离
.
因为,
,
,∴
,
∴.
所以直线与面
所成角的正弦值
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆经过点
,且离心率为
,过其右焦点F的直线
交椭圆C于M,N两点,交y轴于E点.若
,
.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)试判断是否是定值.若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求的普通方程和
的直角坐标方程;
(2)若上恰有2个点到
的距离等于
,求
的斜率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在多面体中,
均垂直于平面
,
,
,
,
.
(1)过的平面
与平面
垂直,请在图中作出
截此多面体所得的截面,并说明理由;
(2)若,
,求多面体
的体积.
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【题目】已知动点M到定点F1(-2,0)和F2(2,0)的距离之和为.
(1)求动点M轨迹C的方程;
(2)设N(0,2),过点P(-1,-2)作直线l,交椭圆C于不同于N的A,B两点,直线NA,NB的斜率分别为k1,k2,问k1+k2是否为定值?若是的求出这个值.
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【题目】过抛物线的一条弦的中点作平行于抛物线对称轴的平行线(或与对称轴重合),交抛物线于一点,称以该点及弦的端点为顶点的三角形为这条弦的阿基米德三角形(简称阿氏三角形).
现有抛物线:
,直线
:
(其中
,
,
是常数,且
),直线
交抛物线
于
,
两点,设弦
的阿氏三角形是
.
(1)指出抛物线的焦点坐标和准线方程;
(2)求的面积(用
,
,
表示);
(3)称的阿氏
为一阶的;
、
的阿氏
、
为二阶的;
、
、
、
的阿氏三角形为三阶的;……,由此进行下去,记所有的
阶阿氏三角形的面积之和为
,探索
与
之间的关系,并求
.
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