【题目】已知函数(
,
为常数),函数
(
为自然对数的底).
(1)讨论函数的极值点的个数;
(2)若不等式对
恒成立,求实数的
取值范围.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】试题(1)求得,分三种情况讨论,分别研究函数的单调性进而可得函数极值点的个数;(2)不等式
对
恒成立,等价于
只需研究函数
的最小值不小于零即可.
试题解析:(1)
,
由得:
,记
,则
,
由得
,且
时,
,
时,
,
所以当时,
取得最大值
,又
,
(i)当时,
恒成立,函数
无极值点;
(ii)当时,
有两个解
,
,且
时,
,
时,
,
时,
,所以函数
有两个极值点;
(iii)当时,方程
有一个解
,且
时
,
时,
,所以函数
有一个极值点;
(2)记
,
由,
,
,
由,
又当,
时,
,
,
在区间
上单调递增,
所以恒成立,即
恒成立,
综上实数的取值范围是
.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题,属于难题.不等式恒成立问题常见方法:① 分离参数恒成立(
可)或
恒成立(
即可);② 数形结合(
图象在
上方即可);③ 讨论最值
或
恒成立;④ 讨论参数.本题是利用方法 ③ 求得
的范围的.
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【题目】椭圆:
的左焦点为
且离心率为
,
为椭圆
上任意一点,
的取值范围为
,
.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,设圆是圆心在椭圆
上且半径为
的动圆,过原点
作圆
的两条切线,分别交椭圆于
,
两点.是否存在
使得直线
与直线
的斜率之积为定值?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知椭圆的焦距与短轴长相等,长轴长为
,设过右焦点F倾斜角为
的直线交椭圆M于A、B两点.
(1)求椭圆M的方程;
(2)求证:
(3)设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C、D,求四边形ABCD面积的最小值.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为=
(
>0),过点
的直线
的参数方程为
(t为参数),直线
与曲线C相交于A,B两点.
(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程;
(Ⅱ)若,求
的值.
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【题目】每个国家对退休年龄都有不一样的规定,从2018年开始,我国关于延迟退休的话题一直在网上热议,为了了解市民对“延迟退休”的态度,现从某地市民中随机选取100人进行调查,调查情况如下表:
年龄段(单位:岁) | ||||||
被调查的人数 | ||||||
赞成的人数 |
(1)从赞成“延迟退休”的人中任选1人,此人年龄在的概率为
,求出表格中
的值;
(2)若从年龄在的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样,从中抽取10人参与某项调查,然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会,记这4人中赞成“延迟退休”的人数为
,求
的分布列及数学期望.
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【题目】某地实施乡村振兴战略,对农副产品进行深加工以提高产品附加值,已知某农产品成本为每件3元,加工后的试营销期间,对该产品的价格与销售量统计得到如下数据:
单价x(元) | 6 | 6.2 | 6.4 | 6.6 | 6.8 | 7 |
销量y(万件) | 80 | 74 | 73 | 70 | 65 | 58 |
数据显示单价x与对应的销量y满足线性相关关系.
(1)求销量y(件)关于单价x(元)的线性回归方程;
(2)根据销量y关于单价x的线性回归方程,要使加工后收益P最大,应将单价定为多少元?(产品收益=销售收入-成本).
参考公式:=
=
,
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