Question

【题目】已知函数（为自然对数的底数），.

（1）当时，求函数的极小值；

（2）若当时，关于的方程有且只有一个实数解，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）0（2）

【解析】

（1）当时，，， 令 ，可得，列表判断两边的符号，根据极值的定义可得结果；（2）化简，求得，，设，可得，讨论的取值范围，根据函数的单调性，结合零点存在定理即可筛选出符合题意的的取值范围.

（1）当时，，，

令 则 列表如下：

		1
	单调递减	极小值	单调递增

所以.

（2）设，

，

设，，

由得， ，，在单调递增，

即在单调递增，，

①当，即时，时，，在单调递增,

又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解，符合题意.

②当，即时，由（1）可知，

所以，又

故，当时，，单调递减，又，

故当时，，

在内，关于的方程有一个实数解1.

又时，，单调递增，

且，令，

,,故在单调递增，又

在单调递增，故，故，

又，由零点存在定理可知，，

故在内，关于的方程有一个实数解.

又在内，关于的方程有一个实数解1，不合题意.

综上，.