【题目】已知函数.
(1)若,求的单调区间;
(2)若,,求证:.
【答案】(1) 的单调递增区间为,不存在递减区间.(2)见证明
【解析】
(1)求出,研究函数的正负情况即可明确的正负情况,即可得到的单调区间;
(2) 设,证明,要证明
只需证明.
解法一:(1)的定义域为,时,
,
所以
当时,,所以在单调递减;
当时,,所以在单调递增;
所以,所以在单调递增,
即的单调递增区间为,不存在递减区间.
(2)设,则
当时,,所以在单调递增;
当时,,所以在单调递减;
所以
所以时,
即,要证明
只需证明
由(1)知,在单调递增,
所以,当时,,即
所以当时,
所以只需证明,即证明
设,则
所以在单调递增,所以,所以原不等式成立.
综上,当,时,
解法二:(1)同解法一
(2)同解法一得只需证明
设,则
,
由得,即
因为,所以
又因为,所以
因为,所以
所以,在单调递增,所以
所以在单调递减,所以,即
综上,当,时,
解法三:(1)同解法一
(2)同解法一得要证明,只需证明,
即证明,设
则
由,得,即,所以,
所以在单调递增,所以
即,所以
综上,当,时,
解法四:(1)同解法一
(2)同解法一得要证明,只需证明,
即证明,设
,设,
因为,所以,所以在单调递减,
所以,
所以在单调递增,所以
即,所以
综上,当,时,
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【题目】已知点的坐标分别为,三角形的两条边所在直线的斜率之积是.
(I)求点的轨迹方程;
(II)设直线方程为,直线方程为,直线交于,点关于轴对称,直线与轴相交于点,求面积关于的表达式.
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【题目】现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了50人,他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.
月收入(单位百元) | ||||||
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 4 | 8 | 12 | 5 | 2 | 1 |
(1)由以上统计数据填下面2×2列联表,并问是否有99%的把握认为“月收入以5500元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异;
月收入不低于55百元的人数 | 月收入低于55百元的人数 | 合计 | |
赞成 | a=______________ | c=______________ | ______________ |
不赞成 | b=______________ | d=______________ | ______________ |
合计 | ______________ | ______________ | ______________ |
(2)试求从年收入位于(单位:百元)的区间段的被调查者中随机抽取2人,恰有1位是赞成者的概率。
参考公式:,其中.
参考值表:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】学生学习的自律性很重要.某学校对自律性与学生成绩是否有关进行了调研,从该校学生中随机抽取了100名学生,通过调查统计得到列联表的部分数据如下表:
自律性一般 | 自律性强 | 合计 | |
成绩优秀 | 40 | ||
成绩一般 | 20 | ||
合计 | 50 | 100 |
(1)补全列联表中的数据;
(2)判断是否有的把握认为学生的自律性与学生成绩有关.
参考公式及数据:.
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】如图,在多面体中,均垂直于平面,,,,.
(1)过的平面与平面垂直,请在图中作出截此多面体所得的截面,并说明理由;
(2)若,,求多面体的体积.
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【题目】设椭圆()的左、右焦点为,右顶点为,上顶点为.已知.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过原点的直线与该圆相切,求直线的斜率.
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【题目】在直角坐标平面上的一列点简记为,若由构成的数列满足,(其中是与轴正方向相同的单位向量),则称为“点列”.
(1)试判断:,...是否为“点列”?并说明理由.
(2)若为“点列”,且点在点的右上方.任取其中连续三点,判断的形状(锐角,直角,钝角三角形),并证明.
(3)若为“点列”,正整数满足:,且,求证:.
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