Question

【题目】对于项数为m（且）的有穷正整数数列，记，即为中的最小值，设由组成的数列称为的“新型数列”.

（1）若数列为2019，2020，2019，2018，2017，请写出的“新型数列”的所有项；

（2）若数列满足，且其对应的“新型数列”项数，求的所有项的和；

（3）若数列的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求符合条件的及其对应的“新型数列”.

Answer 1

【答案】（1）数列为2019，2019，2019，2018，2017（2）（3）满足题意的数列：.所以对应的“新型数列”分别为：.

【解析】

(1)根据的定义直接写出的所有项；(2)首先推出关于n递减，则中共21项且各项分别与中各项相同，相加利用等比数列的前n项和公式即可得解.(3)先不妨设数列单调递增，分、、三种情况讨论，求出满足题意的数列，进而求得对应的“新型数列”.

解：（1）数列为2019，2019，2019，2018，2017；

（2）由已知得：当时，关于n递减；当时，关于n递减，

又时，关于n递减.

，.

又，.

共21项且各项分别与中各项相同，

其和为

.

（3）先不妨设数列单调递增，

当时，，，

，此时无解，不满足题意；

当时，由得

，

，又，，代入原式得.

当时，，

而，矛盾，

所以不存在满足题意的数列.

综上，满足题意的数列：.

所以对应的“新型数列”分别为：.