【题目】若数列满足
则称
为
数列.记
(1)若为
数列,且
试写出
的所有可能值;
(2)若为
数列,且
求
的最大值;
(3)对任意给定的正整数是否存在
数列
使得
?若存在,写出满足条件的一个
数列
;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)存在,见解析.
【解析】
(1)根据题意,则
或
,分析后可得符合条件的
数列;
(2)由于由于为
数列,且
故n必须是不小于3的奇数. 使
最大的
,可以让数列
先逐渐增大1,到中间位置后再逐渐减小1,由等差数列的前
项和公式可得;
(3)令,则
,用
表示
有
,求出
,
是偶数,
,则
是偶数,
或
(
),可分别求得结论.
(1)满足条件的数列
,及对应的
分别为:
(i) 0, 1, 2,1, 0. (ii) 0, 1, 0,1, 0.
(iii) 0, 1, 0,-1, 0. (iv) 0, -1, -2,-1, 0.
(v) 0, -1, 0,-1, 0 . (vi) 0, -1, 0, 1, 0.
因此,的所有可能值为:
(2) 由于为
数列,且
故n必须是不小于3的奇数.
于是使最大的
为:
这里 并且
因此, (n为不小于3的奇数)
(3)令,则
于是由
得
故
因为,故
为偶数,
所以为偶数,
于是要使,必须
为偶数,即
为4的倍数,亦即
或
(i)当时,
数列
的项在满足:
时,
(ii)当时,
数列
的项在满足:
时,
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【题目】在一个给定的正边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点,任何一种选法的可能性是相等的,则正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部的概率为______.
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【题目】已知函数是
上的偶函数,对于
都有
成立,且
,当
,
,且
时,都有
.则给出下列命题:①
;②
为函数
图象的一条对称轴;③函数
在
上为减函数;④方程
在
上有4个根;其中正确的命题个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(Ⅰ)用表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量
的分布列和数学期望;
(Ⅱ)设为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件
发生的概率.
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【题目】对于项数为m(且
)的有穷正整数数列
,记
,即
为
中的最小值,设由
组成的数列
称为
的“新型数列”.
(1)若数列为2019,2020,2019,2018,2017,请写出
的“新型数列”
的所有项;
(2)若数列满足
,且其对应的“新型数列”
项数
,求
的所有项的和;
(3)若数列的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积,求符合条件的
及其对应的“新型数列”
.
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【题目】已知数列,
为其前
项的和,满足
.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前
项和为
,数列
的前
项和为
,求证:当
,
时
;
(3)已知当,且
时有
,其中
,求满足
的所有
的值.
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【题目】对于由有限个自然数组成的集合A,定义集合S(A)={a+b|a∈A,b∈A},记集合S(A)的元素个数为d(S(A)).定义变换T,变换T将集合A变换为集合T(A)=A∪S(A).
(1)若A={0,1,2},求S(A),T(A);
(2)若集合A有n个元素,证明:“d(S(A))=2n-1”的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”;
(3)若A{1,2,3,4,5,6,7,8}且{1,2,3,…,25,26}T(T(A)),求元素个数最少的集合A.
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