【题目】已知函数,
.
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)设函数,其中
是自然对数的底数,判断
有无极值,有极值时求出极值.
【答案】(1)递增区间为,
,递减区间为
,
;
(2)当时,
无极值;当
0时,极大值为
,极小值为
.
【解析】
(1)代入,运用导数知识求出函数
的单调区间.
(2)对函数求导后,分类讨论
和
两种情况,判断函数
有无极值,并在有极值时求出极值.
解:(1)当时,
∴,令
得
,0,1.
列表:
0 | 1 | ||||||
- | 0 | + | 0 | - | 0 | + | |
由表得:的递增区间为
,
递减区间为,
(2)因为,
所以
,
令,则
,令
得
,
当时,
,
单调递减,
当时,
,
单调递增,
所以当时,
,∴对于
恒有
.
当时,
,
在
上单调递增,无极值;
当时,令
,可得
.
当或
时,
,
单调递增,
当时,
,
单调递减,
因此,当时,
取得极大值
;
当时,
取得极小值
.
综上所述:当时,
无极值;
当0时,极大值为
,
极小值为.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知集合,且
中的元素个数
大于等于5.若集合
中存在四个不同的元素
,使得
,则称集合
是“关联的”,并称集合
是集合
的“关联子集”;若集合
不存在“关联子集”,则称集合
是“独立的”.
分别判断集合
和集合
是“关联的”还是“独立的”?若是“关联的”,写出其所有的关联子集;
已知集合
是“关联的”,且任取集合
,总存在
的关联子集
,使得
.若
,求证:
是等差数列;
集合
是“独立的”,求证:存在
,使得
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设椭圆的左焦点为
,上顶点为
.已知椭圆的短轴长为4,离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点
为直线
与
轴的交点,点
在
轴的负半轴上.若
(
为原点),且
,求直线
的斜率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若数列满足
则称
为
数列.记
(1)若为
数列,且
试写出
的所有可能值;
(2)若为
数列,且
求
的最大值;
(3)对任意给定的正整数是否存在
数列
使得
?若存在,写出满足条件的一个
数列
;若不存在,请说明理由.
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