【题目】已知集合,且中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素,使得,则称集合是“关联的”,并称集合是集合的“关联子集”;若集合不存在“关联子集”,则称集合是“独立的”.
分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”?若是“关联的”,写出其所有的关联子集;
已知集合是“关联的”,且任取集合,总存在的关联子集,使得.若,求证:是等差数列;
集合是“独立的”,求证:存在,使得.
【答案】是关联的,关联子集有;是独立的;
证明见解析;
证明见解析
【解析】
(1)根据题中所给的新定义,即可求解;
(2)根据题意,,,,, ,进而利用反证法求解;
(3)不妨设集合,,且.
记,进而利用反证法求解;
解:是“关联的”关联子集有;
是“独立的”
记集合的含有四个元素的集合分别为:
,,,,
.
所以,至多有个“关联子集”.
若为“关联子集”,则不是 “关联子集”,否则
同理可得若为“关联子集”,则不是 “关联子集”.
所以集合没有同时含有元素的“关联子集”,与已知矛盾.
所以一定不是“关联子集”
同理一定不是“关联子集”.
所以集合的“关联子集”至多为.
若不是“关联子集”,则此时集合一定不含有元素的“关联子集”,与已知矛盾;
若不是“关联子集”,则此时集合一定不含有元素的“关联子集”,与已知矛盾;
若不是“关联子集”,则此时集合一定不含有元素的“关联子集”,与已知矛盾;
所以都是“关联子集”
所以有,即
,即.
,即,
所以.
所以是等差数列.
不妨设集合,,且.
记.
因为集合是“独立的”的,所以容易知道中恰好有个元素.
假设结论错误,即不存在,使得
所以任取,,因为,所以
所以
所以任取,
任取,
所以,且中含有个元素.
(i)若,则必有成立.
因为,所以一定有成立.所以.
所以
,,
所以,所以,有矛盾,
(ii)若,
而中含有个元素,所以
所以,
因为,所以.
因为,所以
所以
所以,矛盾.
所以命题成立.
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【题目】黄冈“一票通”景区旅游年卡,是由黄冈市旅游局策划,黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程.持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区.为合理配置旅游资源,现对已游览某签约景区的游客进行满意度调查.随机抽取100位游客进行调查评分(满分100分),评分的频率分布直方图如图.
(1)求a的值并估计评分的平均数;
(2)为了了解游客心声,调研机构用分层抽样的方法从评分为,的游客中抽取了6名,听取他们对该景区建设的建议.现从这6名游客中选取2人,求这2人中至少有一个人的评分在内的概率;
(3)为更广泛了解游客想法,调研机构对所有评分从低到高排序的前86%游客进行了网上问卷调查并随调查表赠送小礼品,估计收到问卷调查表的游客的最高分数.
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【题目】已知函数,若同时满足以下条件:
①在D上单调递减或单调递增;
②存在区间,使在 上的值域是,那么称为闭函数.
(1)求闭函数符合条件②的区间 ;
(2)判断函数是不是闭函数?若是请找出区间;若不是请说明理由;
(3)若是闭函数,求实数的取值范围.
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【题目】已知函数在区间上的最大值为4,最小值为1,记为.
(1)求实数,的值;
(2)若不等式成立,求实数的取值范围;
(3)对于任意满足的自变量,,,…,,如果存在一个常数,使得定义在区间上的一个函数,恒成立,则称函数为区间上的有界变差函数,试判断函数是否是区间上的有界变差函数,若是,求出的最小值;若不是,请说明理由.
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【题目】已知函数是上的偶函数,对于都有成立,且,当,,且时,都有.则给出下列命题:①;②为函数图象的一条对称轴;③函数在上为减函数;④方程在上有4个根;其中正确的命题个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】王老师是高三的班主任,为了在寒假更好的督促班上的学生完成学习作业,王老师特地组建了一个QQ群,群的成员由学生、家长、老师共同组成.已知该QQ群中男学生人数多于女学生人数,女学生人数多于家长人数,家长人数多于教师人数,教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ群人数的最小值为( )
A.20B.22C.26D.28
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【题目】某健身馆在2019年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户.为预估2020年7、8两月客户投入的健身消费金额,健身馆随机抽样统计了2019年7、8两月100名客户的消费金额,分组如下:,,,…,(单位:元),得到如图所示的频率分布直方图:
(1)请用抽样的数据预估2020年7、8两月健身客户人均消费的金额(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)若把2019年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户,称为“健身达人”,经数据处理,现在列联表中得到一定的相关数据,请补全空格处的数据,并根据列联表判断是否有的把握认为“健身达人”与性别有关?
健身达人 | 非健身达人 | 总计 | |
男 | 10 | ||
女 | 30 | ||
总计 |
(3)为吸引顾客,在健身项目之外,该健身馆特别推出健身配套营养品的销售,现有两种促销方案.
方案一:每满800元可立减100元;
方案二:金额超过800元可抽奖三次,每次中奖的概率为,且每次抽奖互不影响,中奖1次打9折,中奖2次打8折,中奖3次打7折.
若某人打算购买1000元的营养品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 | ||
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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