Question

【题目】设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或.

【解析】

(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程；

(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标，从而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.

(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，b=2，c=1.

所以，椭圆方程为.

(Ⅱ)由题意，设.设直线的斜率为，

又，则直线的方程为，与椭圆方程联立，

整理得，可得，

代入得，

进而直线的斜率，

在中，令，得.

由题意得，所以直线的斜率为.

由，得，

化简得，从而.

所以，直线的斜率为或.