Question

【题目】试求出正整数的最小可能值，使得下述命题成立：对于任意的个整数（允许相等），必定存在相应的个整数（也允许相等），且，，使得2003能整除.

Answer 1

【答案】7

【解析】

先证明时，命题成立.为此，考虑和式，其中.

这种和式共有个，由于，所以，由抽屉原则可知，必有两个不同的和式与被2003除所得的余数相同.

故2003能整除

.

其中，（因为、，），且至少有一个（因为数组）.这时，取，，即可满足要求.

故当时，命题成立.

其次，证明时，命题不成立.为此，我们举反例.

取，，，，，，

于是，对于任意的6个整数，，，

和式都是3的倍数.

则

.

不妨设中不为零且下标为最大的数是，即，且，则

.

另外，不妨设（当时，可考虑.

若，则

.

若，则，.

综上可知，且，.

显然2003与3互素.

假若有2003整除，则，为整数，且.于是，，这与矛盾.因此，当取，时，就不可能有，，，，能使得

.

这个反例说明：当时，命题不成立.

由上述两步可知，所求的最小正整数为7.