Question

【题目】已知函数（，）的周期为，图象的一个对称中心为，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.

（1）求函数与的解析式；

（2）求证：存在，使得，，能按照某种顺序成等差数列.

Answer 1

【答案】（1）；；（2）证明见解析

【解析】

（1）由周期公式可得，，再由对称中心可得值，可得解析式，由函数图象变换和诱导公式化简可得；

（2）当时，问题转化为方程在内是否有解，由函数零点的存在性定理可得.

解：（1）函数的周期为，，

，

又曲线的一个对称中心为，，

，可得，，

将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得的图象，

再将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，

由诱导公式化简可得；

（2）当时，，，

，

问题转化为方程在内是否有解.

设，，

，，且函数的图象连续不断，

函数在内存在零点，

即存在，使得，，能按照某种顺序成等差数列.