【题目】某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路、
,海岸边界
近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源,需修建一条连接两条公路的直线型观光大道
,且直线
与曲线
有且仅有一个公共点P(即直线与曲线相切),如图所示.若曲线段
是函数
图像的一段,点M到
、
的距离分别为8千米和1千米,点N到
的距离为10千米,点P到
的距离为2千米.以
、
分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系
.
(1)求曲线段的函数关系式,并指出其定义域;
(2)求直线的方程,并求出公路
的长度(结果精确到1米).
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【题目】已知函数(
,
)的周期为
,图象的一个对称中心为
,将函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象.
(1)求函数与
的解析式;
(2)求证:存在,使得
,
,
能按照某种顺序成等差数列.
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【题目】已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形,右焦点到右顶点的距离为1.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)是否存在与椭圆C交于A,B两点的直线l:,使得
成立?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是AB,PD的中点,且PA=AD.
(Ⅰ)求证:AF∥平面PEC;
(Ⅱ)求证:平面PEC⊥平面PCD.
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【题目】已知数列{an}的各项均为整数,其前n项和为Sn.规定:若数列{an}满足前r项依次成公差为1的等差数列,从第r﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列,则称数列{an}为“r关联数列”.
(1)若数列{an}为“6关联数列”,求数列{an}的通项公式;
(2)在(1)的条件下,求出Sn,并证明:对任意n∈N*,anSn≥a6S6;
(3)已知数列{an}为“r关联数列”,且a1=﹣10,是否存在正整数k,m(m>k),使得a1+a2+…+ak﹣1+ak=a1+a2+…+am﹣1+am?若存在,求出所有的k,m值;若不存在,请说明理由.
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【题目】
给定椭圆,称圆心在原点
,半径为
的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为
,其短轴上的一个端点到F的距离为
.
(I)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;
(II )点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过点P作直线,使得
与椭圆C都只有一个交点,且
分别交其“准圆”于点M,N.
(1)当P为“准圆”与轴正半轴的交点时,求
的方程;
(2)求证:|MN|为定值.
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【题目】设和
是双曲线
上的两点,线段
的中点为
,直线
不经过坐标原点
.
(1)若直线和直线
的斜率都存在且分别为
和
,求证:
;
(2)若双曲线的焦点分别为、
,点
的坐标为
,直线
的斜率为
,求由四点
、
、
、
所围成四边形
的面积.
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