【题目】设函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)设,若对任意的,存在使得成立,求的取值范围.
【答案】(1).(2)或.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由,得出的解析式,求切线方程,即先求在处的值为切线的斜率,由点斜式求出切线方程即可;(Ⅱ)将题意等价于在区间上, 的最大值大于或等于的最大值”利用单调性可求出在上的最大值,在利用分类讨论的思想分为, , 三种情形,求出其最大值,再进行比较即可.
试题解析:解:(Ⅰ)当时,因为,
所以, .
又因为,所以曲线在点处的切线方程为,即.
(Ⅱ)“对任意的,存在使得成立”等价于“在区间上, 的最大值大于或等于的最大值”.
因为,所以在上的最大值为.
令,得或.
① 当,即时,
在上恒成立,在上为单调递增函数,
的最大值为,
由,得.
② 当,即时,
当时, , 为单调递减函数,
当时, , 为单调递增函数.
所以的最大值为或,
由,得;由,得.
又因为,所以.
③ 当,即时,
在上恒成立, 在上为单调递减函数,
的最大值为,由,得,
又因为,所以.
综上所述,实数的值范围是或.
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【题目】质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取100桶检测某项质量指标,由检测结果得到如下的频率分布直方图:
(Ⅰ)写出频率分布直方图(甲)中的值;记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为,,试比较,的大小(只要求写出答案);
(Ⅱ)估计在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅,恰有一桶的质量指标大于20;
(Ⅲ)由频率分布直方图可以认为,乙种食用油的质量指标值服从正态分布.其中近似为样本平均数,近似为样本方差,设表示从乙种食用油中随机抽取10桶,其质量指标值位于(14.55,38.45)的桶数,求的数学期望.
注:①同一组数据用该区问的中点值作代表,计算得
②若,则,.
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【题目】已知中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆,它的离心率为,且与直线x+y-1=0相交于M、N两点,若以MN为直径的圆经过坐标原点,求椭圆的方程.
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【题目】在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个球,每个球被取出的可能性相等.
(1)求取出的两个球上标号为相同数字的概率;
(2)求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率.
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【题目】设函数f(x)是奇函数,并且在R上为增函数,若0≤θ≤ 时,f(msinθ)+f(1﹣m)>0恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(﹣∞,0)
C.(﹣∞,1)
D.(﹣∞, )
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【题目】对于维向量,若对任意均有或,则称为维向量. 对于两个维向量定义.
(1)若, 求的值;
(2)现有一个维向量序列: 若且满足: ,求证:该序列中不存在维向量.
(3) 现有一个维向量序列: 若且满足: ,若存在正整数使得为维向量序列中的项,求出所有的.
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【题目】如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|,当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程。
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【题目】某学校为了制定治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施,对全校学生家长进行了问卷调查,根据从其中随机抽取的50份调查问卷,得到了如下的列联表.
同意限定区域停车 | 不同意限定区域停车 | 合计 | |
男 | 18 | 7 | 25 |
女 | 12 | 13 | 25 |
合计 | 30 | 20 | 50 |
(1)学校计划在同意限定区域停车的家长中,按照分层抽样的方法,随机抽取5人在上学、放学期间在学校门口参与维持秩序,在随机抽取的5人中,选出2人担任召集人,求至少有一名女性的概率?
(2)已知在同意限定区域停车的12位女性家长中,有3位日常开车接送孩子,现从这12位女性家长中随机抽取3人参与维持秩序,记参与维持秩序的女性家长中,日常开车接送孩子的女性家长人数为,求 的分布列和数学期望.
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【题目】如图,设双曲线的上焦点为,上顶点为,点为双曲线虚轴的左端点,已知的离心率为,且的面积.
(1)求双曲线的方程;
(2)设抛物线的顶点在坐标原点,焦点为,动直线与相切于点,与的准线相交于点,试推断以线段为直径的圆是否恒经过轴上的某个定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.
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