Question

【题目】已知中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为，且与直线x＋y－1＝0相交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】

【解析】试题分析：设椭圆方程（a＞b＞0），依题意椭圆方程可转化为，与直线x+y﹣1=0联立，设M（x1，y1）、N（x2，y2），利用OM⊥ON可得x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得到关于b的关系式，从而可求得b2与a2．

试题解析：

设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，

∵e＝，∴a2＝4b2，即a＝2b.

∴椭圆方程为＋＝1.

把直线方程代入并化简，得5x2－8x＋4－4b2＝0.

设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则

x1＋x2＝，x1x2＝ (4－4b2)．

∴y1y2＝(1－x1)(1－x2)

＝1－(x1＋x2)＋x1x2＝ (1－4b2)．

由于OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0.

解得b2＝，a2＝.

∴椭圆方程为x2＋y2＝1.