【题目】已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形,右焦点到右顶点的距离为1.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)是否存在与椭圆C交于A,B两点的直线l:,使得
成立?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆方程为.
(1)设椭圆的左右焦点分别为、
,点
在椭圆上运动,求
的值;
(2)设直线和圆
相切,和椭圆交于
、
两点,
为原点,线段
、
分别和圆
交于
、
两点,设
、
的面积分别为
、
,求
的取值范围.
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【题目】节能环保日益受到人们的重视,水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题.某地有三家工厂,分别位于矩形的两个顶点
、
及
的中点
处,
,
,为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界),且与
、
等距离的一点
处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道
、
、
.设
∠BAO=x(弧度),排污管道的总长度为
.
(1)将表示为
的函数;
(2)试确定点的位置,使铺设的排污管道的总长度最短,并求总长度的最短公里数(精确到
).
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【题目】已知数列和
满足:
,
,
,且对一切
,均有
.
(1)求证:数列为等差数列,并求数列
的通项公式;
(2)若,求数列
的前n项和
;
(3)设(
),记数列
的前n项和为
,问:是否存在正整数
,对一切
,均有
恒成立.若存在,求出所有正整数
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路、
,海岸边界
近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源,需修建一条连接两条公路的直线型观光大道
,且直线
与曲线
有且仅有一个公共点P(即直线与曲线相切),如图所示.若曲线段
是函数
图像的一段,点M到
、
的距离分别为8千米和1千米,点N到
的距离为10千米,点P到
的距离为2千米.以
、
分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系
.
(1)求曲线段的函数关系式,并指出其定义域;
(2)求直线的方程,并求出公路
的长度(结果精确到1米).
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【题目】李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业,万众创新”.某创客,白手起家,2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金,每月获得的利润是该月初投入资金的.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额(包括本金和利润)的
,每月的生活费等开支为3000元,余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.
(1)问到2015年年底(按照12个月计算),该创客有余款多少元?(结果保留至整数元)
(2)如果银行贷款的年利率为,问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款?
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