【题目】如图所示，在正三棱柱
中，点
是
的中点，点
是
的中点，所有的棱长都为
.
（1）求证：
；
（2）求点
到平面
的距离.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由条件可证明
平面
，得
，由此可证明
平面
，即可证明
（2）利用三棱锥等体积法，即
，分别计算两个棱锥的体积，即可求出点
到平面
的距离.
（1）在正三棱柱
中，底面
为正三角形，而点
为
的中点，所以
.
又侧棱
底面，
平面，则
.
而
，所以平面
，且
平面，
从而.
正三棱柱所有棱长均相等，点
是
的中点，
所以
，
，
，从而
.
由
，得
.
又
点，所以平面，从而.
（2）记点到平面的距离为
，
则三棱锥
的体积为
.
由（1）证明过程可知，平面，且
平面，从而
.
由条件计算得，
，
，
的面积为
，从而
.
在正三棱柱中，过点作
的垂线交于
点，
又侧棱底面，
平面，则
.
而
，所以
平面
，
即
是三棱锥
的高，且
，
.
而，所以
，
，
即点到平面的距离为.
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【题目】有一块铁皮零件，其形状是由边长为
的正方形截去一个三角形
所得的五边形
，其中
，如图所示.现在需要用这块材料截取矩形铁皮
，使得矩形相邻两边分别落在
上，另一顶点
落在边
或
边上.设
，矩形的面积为
.
（1）试求出矩形铁皮的面积
关于
的函数解析式，并写出定义域；
（2）试问如何截取（即取何值时），可使得到的矩形的面积最大？
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【题目】已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：
，使得
成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
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【题目】已知数列
和
满足：
，
，
且对一切，均有
．
（1）求证：数列
为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前
项和
；
（3）设
，记数列
的前项和为
，求正整数
，使得对任意，均有
．
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【题目】如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．
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【题目】
给定椭圆
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆Ｃ的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到Ｆ的距离为
.
（I）求椭圆Ｃ的方程和其“准圆”方程；
(II )点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线
，使得与椭圆C都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点M，N.
（1）当P为“准圆”与
轴正半轴的交点时，求的方程；
（2）求证：|MN|为定值.
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