【题目】已知数列和
满足:
,
,
且对一切
,均有
.
(1)求证:数列为等差数列,并求数列
的通项公式;
(2)求数列的前
项和
;
(3)设,记数列
的前
项和为
,求正整数
,使得对任意
,均有
.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】
(1)在等式两边同时除以
,可得出
,利用等差数列的定义可证明出数列
为等差数列,求出数列
的通项公式,可得出数列
的通项公式;
(2)先求出的值,由
时,由
,可得出
,两式相除可得出
的表达式,再对
是否满足
在
的表达式,即可得出数列
的通项公式,再利用等比数列的求和公式求出
;
(3)令,利用数列的单调性求出满足
的最大整数
的值为
,即可得出结论.
(1)由,
,
两边除以,得
,即
,所以,数列
为等差数列.
,所以,
;
(2)当时,
.
对任意的,
,则
;
当时,由
可得
,
两式相除得,
满足
,所以,对任意的
,
,
,
即数列是公比为
的等比数列,且首项为
,因此,
;
(3),令
,即
,即
,
构造数列,则
,
当时,则有
,即
;
当时,
;
当时,
,即
,可得
.
所以,数列最大项的值为
,又
,
,
当时,
.
所以,当时,
,此时
;当
时,
,此时
.
综上所述,数列中,
最大,因此,
.
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【题目】设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(Ⅰ)用表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量
的分布列和数学期望;
(Ⅱ)设为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件
发生的概率.
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【题目】节能环保日益受到人们的重视,水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题.某地有三家工厂,分别位于矩形的两个顶点
、
及
的中点
处,
,
,为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界),且与
、
等距离的一点
处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道
、
、
.设
∠BAO=x(弧度),排污管道的总长度为
.
(1)将表示为
的函数;
(2)试确定点的位置,使铺设的排污管道的总长度最短,并求总长度的最短公里数(精确到
).
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【题目】已知命题:“若,
为异面直线,平面
过直线
且与直线
平行,则直线
与平面
的距离等于异面直线
,
之间的距离”为真命题.根据上述命题,若
,
为异面直线,且它们之间的距离为
,则空间中与
,
均异面且距离也均为
的直线
的条数为( )
A.0条B.1条C.多于1条,但为有限条D.无数多条
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【题目】对于由有限个自然数组成的集合A,定义集合S(A)={a+b|a∈A,b∈A},记集合S(A)的元素个数为d(S(A)).定义变换T,变换T将集合A变换为集合T(A)=A∪S(A).
(1)若A={0,1,2},求S(A),T(A);
(2)若集合A有n个元素,证明:“d(S(A))=2n-1”的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”;
(3)若A{1,2,3,4,5,6,7,8}且{1,2,3,…,25,26}T(T(A)),求元素个数最少的集合A.
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【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,且经过点
,它的一个焦点与抛物线E:
的焦点重合,斜率为k的直线l交抛物线E于A、B两点,交椭圆
于C、D两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l经过点,设点
,且
的面积为
,求k的值;
(3)若直线l过点,设直线
,
的斜率分别为
,
,且
,
,
成等差数列,求直线l的方程.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆
的离心率
,
分别是椭圆
的左右两个顶点,圆
的半径为
,过点
作圆
的切线,切点为
,在
轴的上方交椭圆
于点
.
(1)求直线的方程;
(2)求的值;
(3)设为常数,过点
作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于点
,分别交圆
于点
,记三角形
和三角
的面积分别为
.求
的最大值.
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