Question

5．已知n∈N^*，数列{a_n}的前n项和为S_n，且2a_n-S_n=1．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列，并求出通项公式；
（2）对于任意a_i、a_j∈{a₁，a₂，…，a_n}（其中1≤i≤n，1≤j≤n，i、j均为正整数），若a_i和a_j的所有乘积a_i•a_j的和记为T_n，试求$\lim_{x→∞}\frac{T_n}{4^n}$的值；
（3）设$1+{b_n}=3{log_2}{a_n}，{c_n}={（{-1}）^{n+1}}{b_n}•{b_{n+1}}$，若数列{c_n}的前n项和为C_n，是否存在这样的实数t，使得对于所有的n都有${C_n}≥t{n^2}$成立，若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时通过2a_n-S_n=1与2a_n-1-S_n-1=1作差，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可得T_n的表达式，进而计算即得结论；
（3）通过（1）可知数列{c_n}的通项公式，利用并项相加、分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．

解答 （1）证明：∵2a_n-S_n=1，
∴当n≥2时，2a_n-1-S_n-1=1，
两式相减，整理得：a_n=2a_n-1（n≥2），
又∵2a₁-S₁=1，即a₁=1，
∴数列{a_n}是首项为1、公比为2的等比数列，
∴a_n=2^n-1；
（2）解：∵T_n=（1+2+2²+…+2^n-1）（1+2+2²+…+2^n-1）
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$•$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$
=4ⁿ-2•2ⁿ+1，
∴$\lim_{x→∞}\frac{T_n}{4^n}$=$\underset{lim}{x→∞}$$\frac{{4}^{n}-2•{2}^{n}+1}{{4}^{n}}$=1；
（3）结论：存在这样的实数t，使得对于所有的n都有${C_n}≥t{n^2}$成立．
理由如下：
由（1）可知，1+b_n=3log₂a_n=3n-3，即b_n=3n-4，b_n+1=3n-1，
故c_n=（-1）ⁿ⁺¹b_n•b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹（3n-4）（3n-1），c_n+1=（-1）ⁿ⁺²（3n-1）（3n+2），
特别地，当n为奇数时，有n+1为偶数，
此时c_n+c_n+1=（3n-4）（3n-1）-（3n-1）（3n+2）=-6（3n-1），
①若n为偶数，则C_n=（c₁+c₂）+（c₃+c₄）+…+（c_n-1+c_n）
=-6×[2+8+…+（3n-4）]
=-$\frac{3}{2}$n（3n-2），
由${C_n}≥t{n^2}$可知t≤-$\frac{3}{2}$（3-$\frac{2}{n}$）对所有正偶数n都成立，故t≤-$\frac{9}{2}$；
②若n为奇数，则C_n=C_n-1+c_n（n≥2），
由①可知C_n=-$\frac{3}{2}$（n-1）（3n-5）+（3n-4）（3n-1）=$\frac{9}{2}$n²-3n-$\frac{7}{2}$，
其中C₁=-2满足上式；
由①②可得实数t的取值范围是：t≤-$\frac{9}{2}$，
所以存在这样的实数t，使得对于所有的n都有${C_n}≥t{n^2}$成立．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．