Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，PD=CD，E为PC的中点．
（I）求证：AC⊥PB；
（Ⅱ）求二面角P-BD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （I）推导出PD⊥底面ABCD，从而PD⊥AC，由正方形性质得AC⊥BD，从而AC⊥平面PBD，由此能证明AC⊥PB．
（II）推导出PD⊥AD，PD⊥CD，AD⊥CD，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-BD-E的余弦值．

解答 证明：（I）因为平面PCD⊥底面ABCD，PD垂直于这两个平面的交线CD，
所以PD⊥底面ABCD…（2分）
又AC?底面ABCD，所以PD⊥AC…（3分）
因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
又PD∩BD=D，所以AC⊥平面PBD，…（5分）
因为PB?平面PBD，所以，AC⊥PB．…（6分）
（II）解：由（I）可知PD⊥AD，
由题可知PD⊥CD，AD⊥CD．
如图所示建立空间直角坐标系，
点D为坐标原点，
设DC=1，依题意得A（1，0，0），
C（0，1，0），P（0，0，1）
因为底面ABCD是正方形，
所以点B的坐标为（1，1，0）…（8分）
因为，E为PC的中点，
所以，点E的坐标为$（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$.$\overrightarrow{BE}=（-1，-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．
设平面BDE的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BD}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BE}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x+y=0\\-x-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0\end{array}\right.$，
令z=1，得x=1，y=-1．
所以，$\overrightarrow n=（1，-1，1）$…（10分）
又平面PBD的一个法向量为$\overrightarrow{CA}=（1，-1，0）$…（12分）
所以，$cos\left?{\overrightarrow n，\overrightarrow{CA}}\right＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{CA}}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{CA}}|}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
由题知二面角P-BD-E为锐角，
所以二面角P-BD-E的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．…（13分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．