Question

2．已知ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，则二面角B-A₁C₁-A的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角B-A₁C₁-A的余弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
则A（1，0，0），A₁（1，0，1），B（1，1，0），C₁（0，1，1），
$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}A}$=（0，0，-1），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-1），
设平面A₁C₁A的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=-x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}A}=-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
设平面A₁C₁B的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=-a+b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=b-c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
设二面角B-A₁C₁-A的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴二面角B-A₁C₁-A的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．