Question

11．某中学共有4400名学生，其中男生共有2400名，女生2000名，为了解学生的数学基础的差异，采用分层抽样的办法从全体学生中选取55名同学进行试卷成绩调查，得到男生试卷成绩的频率分布直方图和女生试卷成绩的频数分布表．
女生试卷成绩的频数分布表

成绩分组	[75，90）	[90，105）	[105，120）	[120，135）	[135，150）
频数	2	6	8	7	b

（1）计算a，b的值，以分组的中点数据为平均数，分别估计该校男生和女生的数学成绩；
（2）若规定成绩在[120，150]内为数学基础优秀，由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为男女生的数学基础有差异．

	男生	女生	总计
优秀
不优秀
总计

参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
临界值表：

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.01
K0	2.706	3.841	6，635

Answer 1

分析 （1）根据分层抽样的比例，求出a，b的值，以分组的中点数据为平均数，即可估计该校男生和女生的数学成绩；
（2）求出K²，与临界值比较，即可判断是否有90%的把握认为男女生的数学基础有差异．

解答 解：（1）在选取55名同学中，男生有$\frac{2400}{4400}×55$=30人，女生55-30=25人，
由男生试卷成绩的频率分布直方图知道，15×（3a+4a+9a+11a+3a）=1，∴a=$\frac{1}{450}$，
由女生试卷成绩的频数分布表知道，2+6+8+7+b=25，∴b=1，
以分组的中点数据为平均数，该校男生数学成绩=$\frac{1}{30}×（3×82.5+11×97.5+9×112.5+4×127.5+3×142.5）$=109分；
女生的数学成绩=$\frac{1}{25}×（2×82.5+6×97.5+8×112.5+7×127.5+2×142.5）$=113.1分；
（2）2×2列联表

	男生	女生	总计
优秀	7	9	16
不优秀	23	16	39
总计	30	25	55

K²=$\frac{55（7×16-23×9）^{2}}{16×39×30×25}$≈1.061＜2.706，
∴没有90%的把握认为男女生的数学基础有差异．

点评 本题主要考查频率分布直方图、频数分布表，考查独立性检验的应用，解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率的意义，属于基础题．