Question

1．在平面直角坐标系中，定义$\left\{\begin{array}{l}{x_{n+1}}={x_n}-{y_n}\\{y_{n+1}}={x_n}+{y_n}\end{array}\right.，（n∈{N^*}）$为点P_n（x_n，y_n）到点P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一个变换，我们把它称为点变换．已知P₁（1，0），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…是经过点变换得到的一组无穷点列，设a_n=$\overrightarrow{{P_n}{P_{n+1}}}•\overrightarrow{{P_{n+1}}{P_{n+2}}}$，则满足不等式a₁+a₂+…+a_n＞2016的最小正整数n的值为11．

Answer 1

分析 根据条件即可求得点P₁，P₂到P₇的坐标，从而可以求出向量$\stackrel{→}{{P}_{1}{P}_{2}}$，$\stackrel{→}{{P}_{2}{P}_{3}}$，…，$\stackrel{→}{{P}_{6}{P}_{7}}$的坐标，进行向量数量积的坐标运算便可求出a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=8，a₅=16，从而便可看出数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，从而可求出前n项和为2ⁿ-1，从而可以得到2ⁿ＞2017，这样便可判断出最小正整数n的值．

解答 解：由条件得，P₁（1，0），P₂（1，1），P₃（0，2），P₄（-2，2），P₅（-4，0），P₆（-4，-4），P₇（0，-8）…；
∴a₁=$\stackrel{→}{{P}_{1}{P}_{2}}$•$\stackrel{→}{{P}_{2}{P}_{3}}$=（0，1）•（-1，1）=1，a₂=$\stackrel{→}{{P}_{2}{P}_{3}}$•$\stackrel{→}{{P}_{3}{P}_{4}}$=（-1，1）•（-2，0）=2
a₃=$\stackrel{→}{{P}_{3}{P}_{4}}$•$\stackrel{→}{{P}_{4}{P}_{5}}$=（-2，0）•（-2，-2）=4，a₄=$\stackrel{→}{{P}_{4}{P}_{5}}$•$\stackrel{→}{{P}_{5}{P}_{6}}$=（-2，-2）•（0，-4）=8，
a₅=$\stackrel{→}{{P}_{5}{P}_{6}}$•$\stackrel{→}{{P}_{6}{P}_{7}}$=（0，-4）•（4，-4）=16，
∴数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列；
∴a₁+a₂+…+a_n=$\frac{1•（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ-1，
∴由a₁+a₂+…+a_n＞2016得，2ⁿ-1＞2016；
∴2ⁿ＞2017；
∵2¹⁰=1024，2¹¹=2048，
∴满足a₁+a₂+…+a_n＞2016的最小正整数n=11，
故答案为：11．

点评 本题是一个新定义题目，充分理解题意，并进行相应的转化是解题的关键．