Question

13．函数y=f（x）的定义域为D，若满足：
①f（x）在D内是单调函数；
②存在[a，b]⊆D使得f（x）在[a，b]上的值域为[${\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}}$]，则称函数f（x）为“成功函数”．
若函数f（x）=log_c（c^x+t）（c＞0，c≠1）是“成功函数”，则t的取值范围为（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （-∞，$\frac{1}{4}}$）
• C． （${\frac{1}{4}$，+∞）
• D． （0，$\frac{1}{4}}$）

Answer 1

分析 由f（x）=log_c（c^x+t）（c＞0，c≠1）是“成功函数”，知f（x）在其定义域内为增函数，f（x）=log_c（c^x+t）=$\frac{1}{2}$x，故c^x+t=${c}^{\frac{x}{2}}$，由此能求出t的取值范围．

解答 解：∵f（x）=log_c（c^x+t）（c＞0，c≠1）是“成功函数”，
∴f（x）在其定义域内为增函数，
f（x）=log_c（c^x+t）=$\frac{1}{2}$x，
∴c^x+t=${c}^{\frac{x}{2}}$，
c^x-${c}^{\frac{x}{2}}$+t=0，
令a=${c}^{\frac{x}{2}}$＞0，
∴a²-a+t=0有两个不同的正数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}1-4t＞0\\ t＞0\end{array}\right.$，
解得t∈（0，$\frac{1}{4}$）．
故选：D

点评 本题考查函数的值域的求法，解题的关键是正确理解“成功函数”，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．