Question

19．如图，四棱锥中P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD的中点G，连结PG、GB、BD，推导出PG⊥AD，△ABD是正三角形，BG⊥AD，由此能证明AD⊥PB．
（Ⅱ）以G为原点，直线GA、GB、GP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系G-xyz．利用向量法能求出平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）取AD的中点G，连结PG、GB、BD．
∵PA=PD，∴PG⊥AD，…（2分）
∵AB=AD，且∠DAB=60°，∴△ABD是正三角形，BG⊥AD，
又PG∩BG=G，∴AD⊥平面PGB．
∴AD⊥PB．  …（5分）
解：（Ⅱ）∵侧面PAD⊥底面ABCD，又PG⊥AD，
∴PG⊥底面ABCD．
∴PG⊥BG．∴直线GA、GB、GP两两互相垂直，
故以G为原点，直线GA、GB、GP所在直线为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz．
设PG=a，则P（0，0，a），A（a，0，0），B（0，$\sqrt{3}a$，0），D（-a，0，0），C（-$\frac{3}{2}a$，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，0）．…（7分）
∴$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{3}{2}a$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，0）．∴$\overrightarrow{PB}$=（0，$\sqrt{3}a$，-a），
设$\overrightarrow{n}$=（x₀，y₀，z₀）是平面PBC的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-\frac{3}{2}a{x}_{0}-\frac{\sqrt{3}}{2}a{y}_{0}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{3}a{y}_{0}-a{z}_{0}=0}\end{array}\right.$，取y₀=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（-1，$\sqrt{3}$，3）． …（9分）
又∵平面PAD的法向量$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{GB}=（0，\sqrt{3}a，0）$，
设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{3a}{\sqrt{1+3+9}•\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{39}}{13}$，
所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{39}}{13}$．…（12分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．