Question

12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PDC；
（Ⅱ）线段AB上是否存在异于端点的点G，使二面角C-PD-G的余弦值为$\frac{1}{3}$？若存在，求AG；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出CD⊥AD，CD⊥PA，从而PA⊥平面PCD，由此能证明平面PAB⊥平面PDC．
（Ⅱ）取AD 中点O，以O为原点，OA、OE（E为BC中点）、OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段AB上是存在异于端点的点G，使二面角C-PD-G的余弦值为$\frac{1}{3}$，并能求出AG的长．

解答 证明：（Ⅰ）∵底面ABCD是边长为2的正方形，∴CD⊥AD，
∵侧面PAD⊥底面ABCD，∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PA，
∵PA=PD+$\sqrt{2}$，AD=2，∴PD⊥PA，
∵PD∩CD=D，∴PA⊥平面PCD，
又PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PDC．
解：（Ⅱ）取AD 中点O，连结OP，OP=OA=1，
∵PA=PD，∴OP⊥AD，
∵平面PAD⊥底面ABCD，∴OP⊥底面ABCD，
以O为原点，OA、OE（E为BC中点）、OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），D（-1，0，0），P（0，0，1），
假设在线段AB上存在异于端点的点G钍面角C-PD-G的余弦值为$\frac{1}{3}$，设G（1，a，0），（0＜a＜2）
由（Ⅰ）知平面PDC的一个法向量为$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-1），
设平面PDC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{DP}$=（1，0，1），$\overrightarrow{GD}$=（-2，-a，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GD}=-2x-ay=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\frac{2}{a}$，-1），
∵二面角C-PD-G的余弦值为$\frac{1}{3}$，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PA}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{PA}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{2+\frac{3}{{a}^{2}}}}$=$\frac{1}{3}$，
解得a=$\frac{1}{2}$，
∴线段AB上是存在异于端点的点G，使二面角C-PD-G的余弦值为$\frac{1}{3}$，且AG的长为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查使二面角的余弦值为定值的点是否存在的判断及线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．