Question

4．如图，四棱锥B-ADEF中，平面ABD⊥平面ADEF，其中AB⊥AD，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2，DE=1．
（1）若C是线段DF的中点，求证：DF⊥平面ABC；
（2）若二面角A-BF-D的平面角的余弦值为$\frac{1}{3}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥DF，AB⊥AD，从而AB⊥平面ADEF，进而AB⊥DF，由此能证明DF⊥平面ABC．
（2）设AB=a，以F为原点，AF为x轴，FQ为y轴，过F作平面ADEF的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AB的长．

解答 证明：（1）在直角梯形ADEF中，AD=AF=2，
∵C是线段DF的中点，∴AC⊥DF，
又∵平面ABD⊥平面ADEF，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADEF，DF?平面ADEF，
∴AB⊥DF，
又AB∩AC=A，∴DF⊥平面ABC．
解：（2）设AB=a，以F为原点，AF为x轴，FQ为y轴，
过F作平面ADEF的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则F（0，0，0），A（-2，0，0），E（0，$\sqrt{3}$，0），D（-1，$\sqrt{3}$，0），B（-2，0，a），
∴$\overrightarrow{DF}$=（1，-$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BF}$=（2，0，-a），
∵EF⊥平面ABF，∴平面ABF的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
设平面BFD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=2x-az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=x-\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，\frac{2\sqrt{3}}{a}$），
∵二面角A-BF-D的平面角的余弦值为$\frac{1}{3}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{4+\frac{12}{{a}^{2}}}}$=$\frac{1}{3}$，解得a=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$，
∴AB=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查线面垂的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．