Question

16．如图，在多面体EF-ABCD中，ABCD，ABEF均为直角梯形，$∠ABE=∠ABC=\frac{π}{2}$，DCEF为平行四边形，平面DCEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：DF⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若△ABD是等边三角形，且BF与平面DCEF所成角的正切值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求二面角A-BF-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AB⊥平面BCE，AB∥CD∥EF，从而CD⊥平面BCE，进而CD⊥CE，由CE∥DF，得CD⊥DF，由此能证明DF⊥平面ABCD．
（Ⅱ）法1：过C作CH⊥BE交BE于H，HK⊥BF交BF于K，推导出∠HKC为C-BF-E的平面角，由此能求出二面角A-BF-C的平面角的余弦值．
（Ⅱ）法2：以C为原点，CD，CB，CE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．不妨设CD=1，利用向量法能求出二面角A-BF-C的平面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）因为$∠ABE=∠ABC=\frac{π}{2}$，所以AB⊥平面BCE
又EF∥CD，所以EF∥平面ABCD，从而有AB∥CD∥EF，…（3分）
所以CD⊥平面BCE，从而CD⊥CE，
又CE∥DF，所以CD⊥DF，
又平面DCEF⊥平面ABCD，所以DF⊥平面ABCD．…（7分） 
解：（Ⅱ）解法1：过C作CH⊥BE交BE于H，HK⊥BF交BF于K，
因为AB⊥平面BCE，所以CH⊥AB，从而CH⊥平面ABEF，
所以CH⊥BF，从而BF⊥平面CHK，所以BF⊥KH
即∠HKC为C-BF-E的平面角，与 A-BF-C的平面角互补．…（10分）
因为BC⊥DCEF，所以BF与平面DCEF所成角为∠BFC．
由$tan∠BFC=\frac{CB}{CF}=\frac{BC}{{\sqrt{C{D^2}+C{E^2}}}}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}$，所以2CB²=CD²+CE²，…（12分）
由△ABD是等边三角形，知∠CBD=30°，所以$CB=\sqrt{3}CD$
令CD=a，所以$CB=\sqrt{3}a，CE=\sqrt{5}CD=\sqrt{5}a$，$CH=\frac{{\sqrt{15}}}{{2\sqrt{2}}}a=\frac{{\sqrt{30}}}{4}a，CK=\sqrt{2}a$．
所以$sin∠CKH=\frac{CH}{CK}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，$cos∠CKH=\frac{1}{4}$．
所以二面角A-BF-C的平面角的余弦值为$-\frac{1}{4}$．…（15分）
（Ⅱ）解法2：因为CB，CD，CE两两垂直，
以C为原点，CD，CB，CE所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系．不妨设CD=1．
因为BC⊥DCEF，所以BF与平面DCEF所成角为∠BFC．
由$tan∠BFC=\frac{CB}{CF}=\frac{BC}{{\sqrt{C{D^2}+C{E^2}}}}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}$，所以2CB²=CD²+CE²，…（9分）
由△ABD是等边三角形，知∠CBD=30°，
所以$CB=\sqrt{3}，CE=\sqrt{5}CD=\sqrt{5}$，
$D（1，0，0），B（0，\sqrt{3}，0），E（0，0，\sqrt{5}），A（2，\sqrt{3}，0），F（1，0，\sqrt{5}）$…（11分）
$\overrightarrow{CF}=（1，0，\sqrt{5}），\overrightarrow{CB}=（0，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{BA}=（2，0，0），\overrightarrow{BF}=（1，-\sqrt{3}，\sqrt{5}）$
平面ABF的一个法向量$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，平面CBF的一个法向量$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$
则 $\left\{{\begin{array}{l}{2{x_1}=0}\\{{x_1}-\sqrt{3}{y_1}+\sqrt{5}{z_1}=0}\end{array}}\right.$，且$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{3}{y_2}=0}\\{{x_2}-\sqrt{3}{y_2}+\sqrt{5}{z_2}=0}\end{array}}\right.$
取$\overrightarrow{n_1}=（0，\sqrt{5}，\sqrt{3}），\overrightarrow{n_2}=（-5，0，\sqrt{5}）$…（13分）
则$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{1}{4}$．
二面角A-BF-C的平面角与$\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}$的夹角互补．
所以二面角A-BF-C的平面角的余弦值为$-\frac{1}{4}$．…（15分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．