Question

8．已知点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₂，0），D（x₁，0），其中x₂＞0，x₁＞0，且${y_1}x_1^2-{x_1}+{y_1}=0$，${y_2}x_2^2-{x_2}+{y_2}=0$，若四边形ABCD是矩形，则此矩形绕x轴旋转一周得到的圆柱的体积的最大值为$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由题意，可得x₁，x₂为方程mx²-x+m=0的两个不同实数解，x₁+x₂=$\frac{1}{m}$，x₁x₂=1，表示出圆柱的体积，利用配方法，即可得出结论

解答 解：由题意，令y₁=y₂=m，x₁，x₂为方程mx²-x+m=0的两个不同实数解，
∴x₁+x₂=$\frac{1}{m}$，x₁x₂=1，
矩形绕x轴旋转一周得到的圆柱的体积V=πm²|x₁-x₂|=πm²•$\sqrt{\frac{1}{{m}^{2}}-4}$=π$\sqrt{-4（{m}^{2}-\frac{1}{8}）^{2}+\frac{1}{16}}$，
∴m²=$\frac{1}{8}$时，矩形绕x轴旋转一周得到的圆柱的体积的最大值为$\frac{π}{4}$，
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查旋转体的体积，考查韦达定理的运用，正确表示圆柱的体积是关键．